domingo, 28 de enero de 2018

ensayo 1500 palabras "La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales."


La Irrazonable Efectividad de las Matemáticas

la filosofía es el abuso de una terminología que se inventó precisamente con el propósito de el mismo sentido, que la matemática es la ciencia de operaciones habilidosas con conceptos y reglas inventados para dicho propósito. El énfasis principal está en la invención de los conceptos. Las matemáticas pronto se quedarían sin teoremas interesantes si estos se tuvieran que formular en términos de los conceptos que ya aparecen en los axiomas. Es más, mientras que es una verdad incuestionable que los conceptos de las matemáticas elementales y en particular de la geometría elemental fueron formulados para describir entidades que ya están directamente sugeridas por el mundo real, ello no parece ser cierto en lo que se refiere a conceptos más avanzados, en particular los que representan un papel tan importante en la física. Así, las reglas para las operaciones con pares de números están diseñadas obviamente para dar los mismos resultados que las operaciones con fracciones que aprendimos primero sin referencia a “parejas de números”. Las reglas para las operaciones con secuencias, es decir, con números irracionales, pertenecen todavía a la categoría de reglas que fueron determinadas cuidando de reproducir las reglas de las operaciones con cantidades que ya nos eran conocidas. Conceptos matemáticos mucho más avanzados, tales como los números complejos, las diversas álgebras, los operadores lineales, los conjuntos de Borel (y esta lista podría continuar casi indefinidamente), fueron ideados por ser asuntos adecuados en los cuales el matemático puede demostrar su ingenio y sentido de la belleza formal. De hecho, la definición de tales conceptos, con la noción de que se pueden aplicar a ellos consideraciones ingeniosas e interesantes, es la primera demostración de la destreza del matemático que los define. La profundidad del pensamiento implícita en la formulación de los conceptos matemáticos se justifica después por la destreza con la que se emplean. El gran matemático explota por completo, casi implacablemente, el dominio del razonamiento permisible y roza el no permisible. El que su imprudencia no le conduzca a un laberinto de contradicciones es un milagro en sí mismo: es ciertamente difícil de creer que nuestra capacidad de razonamiento haya sido conducida, por el proceso darwinista de la selección natural, a la perfección que parece poseer. No es éste. El punto principal es que el matemático podría formular solamente un puñado de teoremas interesantes sin definir conceptos más allá de los que están contenidos en los axiomas, y que los conceptos que están fuera de los contenidos en los axiomas están definidos con vistas a permitir ingeniosas operaciones lógicas que apelan a nuestro sentido estético, tanto como operaciones y como también en cuanto a sus resultados de gran generalidad y simplicidad. Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente llamativo de lo anterior. Ciertamente cada experiencia, sugiere la introducción de estas cantidades. En realidad, si a un matemático se le pide que justifique su interés en los números complejos, indicará con cierta indignación los muchos y bellos teoremas de la teoría de ecuaciones, de las series de potencias y de las funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de los números complejos. El matemático no desea abandonar su interés en estos los logros más bellos de su talento. El físico está interesado en descubrir las leyes de la naturaleza inanimada. Con el fin de comprender esta frase, es necesario analizar el concepto “ley de la naturaleza”.
El mundo que nos rodea es de una complejidad desconcertante y el hecho más obvio en relación con ello es que no podemos predecir el futuro. A pesar de que el chiste atribuye solamente al optimista la opinión de que el futuro es incierto, éste tiene razón en este caso: el futuro es impredecible. Es un milagro, como ha señalado Schroedinger, que a pesar de la perturbadora complejidad del mundo, puedan descubrirse en los fenómenos ciertas regularidades. Una regularidad tal, descubierta por Galileo, es que dos piedras, dejadas caer a la vez desde la misma altura, alcanzan el suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza están afectadas por tales regularidades. La regularidad de Galileo es un prototipo de un conjunto mayor de regularidades. Se trata de una regularidad sorprendente por tres razones. La primera razón por la que es sorprendente es que se cumple no solamente en Pisa, y en la época de Galileo, sino que es cierta en todos los lugares de la Tierra, siempre ha sido cierta, y siempre será cierta. La propiedad de la regularidad es una propiedad  de invariancia reconocida y, como tuve ocasión de señalar hace algún tiempo, sin principios de invariancia similares a los que están implícitos en la generalización anterior de la observación de Galileo, la física no hubiera sido posible. La segunda característica sorprendente es que la regularidad de la que estamos tratando es independiente de muchísimas condiciones que podrían tener Los dos puntos anteriores, aunque altamente significativos desde el punto de vista del filósofo, no son los que más sorprendieron a Galileo, ni tampoco contienen una ley específica de la naturaleza. La ley de la naturaleza está contenida en la afirmación de que el tiempo que tarda un objeto pesado en caer desde una altura determinada es independiente del tamaño, material y forma del cuerpo que cae. En el marco de la segunda “ley” de Newton, esto equivale a la afirmación de que la fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo que cae es proporcional a su masa pero independiente del tamaño, composición y forma del cuerpo que cae.
El argumento anterior intenta recordarnos, en primer lugar, que no es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que seamos capaces de descubrirlas.El que esto escribe tuvo la ocasión, hace cierto tiempo, de llamar la atención sobre la serie de capas de “leyes de la naturaleza”, conteniendo cada una de las cuales leyes más generales y más incluyentes que la previa, y su descubrimiento constituye una penetración más profunda en la estructura del universo que las capas previamente reconocidas. Sin embargo, el punto que resulta más significativo en el presente contexto es que todas estas leyes de la naturaleza contienen, incluso en sus consecuencias más remotas, solamente una parte pequeña de nuestro conocimiento del mundo inanimado. Todas las leyes de la naturaleza son afirmaciones condicionales que permiten una predicción de algunos sucesos futuros sobre la base del conocimiento del presente, con la excepción de que algunos aspectos del estado presente del mundo, en la práctica la inmensa mayoría de los determinantes del estado presente del mundo, son irrelevantes desde el punto de vista de la predicción. La irrelevancia es significativa en el sentido del segundo punto tratado en relación con el teorema de Galileo. En lo que se refiere al estado presente del mundo, tal como la existencia de la Tierra en la que vivimos y en la cual se llevaron a cabo los experimentos de Galileo, la existencia del Sol y de la totalidad de nuestro entorno, las leyes de la naturaleza son completamente silenciosas. Es en consonancia con esto, en primer lugar, que se pueden utilizar las leyes de la naturaleza para predecir acontecimientos futuros solamente bajo circunstancias excepcionales, cuando se conocen todos los factores relevantes del estado presente del mundo. Está en consonancia con esto también la construcción de máquinas, cuyo funcionamiento se puede prever, lo cual constituye el logro más espectacular del físico. En tales máquinas el físico crea una situación en la cual se conocen todas las coordenadas relevantes, de tal modo que puede predecirse el comportamiento de la máquina. Los radares y los reactores nucleares son ejemplos de tales máquinas. La finalidad principal de la argumentación anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son siempre afirmaciones condicionales y que se refieren solamente a una parte muy pequeña de nuestro conocimiento del mundo. Así, la mecánica clásica, que es el prototipo mejor conocido de una teoría física, proporciona las derivadas segundas de las coordenadas de la posición de todos los cuerpos, en base al conocimiento de las posiciones, etc. de tales cuerpos. No proporciona información sobre la existencia, las posiciones presentes o las velocidades de dichos cuerpos. Debería mencionarse, en aras a la precisión, que descubrimos hace unos treinta años que incluso las afirmaciones condicionales no pueden ser del todo precisas: que las afirmaciones condicionales son leyes de probabilidad que nos permiten solamente apuestas inteligentes acerca de las propiedades futuras del mundo inanimado, basadas en el conocimiento de su estado presente. No nos permiten hacer afirmaciones categóricas, ni tampoco afirmaciones categóricas condicionales acerca del estado presente del mundo. La naturaleza probabilística de las “leyes de la naturaleza” se manifiesta por sí misma también en el caso de las máquinas, y se puede verificar, al menos en el caso de los reactores nucleares, cuando funcionan a muy baja potencia. Sin embargo, la limitación adicional del alcance de las leyes de la naturaleza que se deriva de su carácter probabilístico no representa ningún papel en el resto de la discusión. En lo que se refiere al estado presente del mundo, tal como es  la existencia de la Tierra en la que vivimos y en la cual se llevaron a cabo los experimentos de Galileo, la existencia del Sol y de la totalidad de nuestro entorno, las leyes de la naturaleza son completamente silenciosas. Es en consonancia con esto, en primer lugar, que se pueden utilizar las leyes de la naturaleza para predecir acontecimientos futuros solamente bajo circunstancias excepcionales, cuando se conocen todos los factores relevantes del estado presente del mundo.

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