La Irrazonable Efectividad
de las Matemáticas
la filosofía
es el abuso de una terminología que se inventó precisamente con el propósito de
el mismo sentido, que la matemática es la ciencia de operaciones habilidosas
con conceptos y reglas inventados para dicho propósito. El énfasis principal
está en la invención de los conceptos. Las matemáticas pronto se quedarían sin teoremas
interesantes si estos se tuvieran que formular en términos de los conceptos que
ya aparecen en los axiomas. Es más, mientras que es una verdad incuestionable
que los conceptos de las matemáticas elementales y en particular de la
geometría elemental fueron formulados para describir entidades que ya están
directamente sugeridas por el mundo real, ello no parece ser cierto en lo que
se refiere a conceptos más avanzados, en particular los que representan un
papel tan importante en la física. Así, las reglas para las operaciones con
pares de números están diseñadas obviamente para dar los mismos resultados que
las operaciones con fracciones que aprendimos primero sin referencia a “parejas
de números”. Las reglas para las operaciones con secuencias, es decir, con
números irracionales, pertenecen todavía a la categoría de reglas que fueron
determinadas cuidando de reproducir las reglas de las operaciones con
cantidades que ya nos eran conocidas. Conceptos matemáticos mucho más
avanzados, tales como los números complejos, las diversas álgebras, los
operadores lineales, los conjuntos de Borel (y esta lista podría continuar casi
indefinidamente), fueron ideados por ser asuntos adecuados en los cuales el
matemático puede demostrar su ingenio y sentido de la belleza formal. De hecho,
la definición de tales conceptos, con la noción de que se pueden aplicar a
ellos consideraciones ingeniosas e interesantes, es la primera demostración de
la destreza del matemático que los define. La profundidad del pensamiento
implícita en la formulación de los conceptos matemáticos se justifica después
por la destreza con la que se emplean. El gran matemático explota por completo,
casi implacablemente, el dominio del razonamiento permisible y roza el no
permisible. El que su imprudencia no le conduzca a un laberinto de
contradicciones es un milagro en sí mismo: es ciertamente difícil de creer que
nuestra capacidad de razonamiento haya sido conducida, por el proceso
darwinista de la selección natural, a la perfección que parece poseer. No es éste.
El punto principal es que el matemático podría formular solamente un puñado de
teoremas interesantes sin definir conceptos más allá de los que están
contenidos en los axiomas, y que los conceptos que están fuera de los
contenidos en los axiomas están definidos con vistas a permitir ingeniosas
operaciones lógicas que apelan a nuestro sentido estético, tanto como
operaciones y como también en cuanto a sus resultados de gran generalidad y
simplicidad. Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente
llamativo de lo anterior. Ciertamente cada experiencia, sugiere la introducción
de estas cantidades. En realidad, si a un matemático se le pide que justifique
su interés en los números complejos, indicará con cierta indignación los muchos
y bellos teoremas de la teoría de ecuaciones, de las series de potencias y de
las funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de
los números complejos. El matemático no desea abandonar su interés en estos los
logros más bellos de su talento. El físico está interesado en descubrir las
leyes de la naturaleza inanimada. Con el fin de comprender esta frase, es
necesario analizar el concepto “ley de la naturaleza”.
El mundo que
nos rodea es de una complejidad desconcertante y el hecho más obvio en relación
con ello es que no podemos predecir el futuro. A pesar de que el chiste
atribuye solamente al optimista la opinión de que el futuro es incierto, éste
tiene razón en este caso: el futuro es impredecible. Es un milagro, como ha
señalado Schroedinger, que a pesar de la perturbadora complejidad del mundo,
puedan descubrirse en los fenómenos ciertas regularidades. Una regularidad tal,
descubierta por Galileo, es que dos piedras, dejadas caer a la vez desde la
misma altura, alcanzan el suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza
están afectadas por tales regularidades. La regularidad de Galileo es un
prototipo de un conjunto mayor de regularidades. Se trata de una regularidad
sorprendente por tres razones. La primera razón por la que es sorprendente es
que se cumple no solamente en Pisa, y en la época de Galileo, sino que es
cierta en todos los lugares de la Tierra, siempre ha sido cierta, y siempre
será cierta. La propiedad de la regularidad es una propiedad de invariancia reconocida y, como tuve
ocasión de señalar hace algún tiempo, sin principios de invariancia similares a
los que están implícitos en la generalización anterior de la observación de
Galileo, la física no hubiera sido posible. La segunda característica
sorprendente es que la regularidad de la que estamos tratando es independiente
de muchísimas condiciones que podrían tener Los dos puntos anteriores, aunque
altamente significativos desde el punto de vista del filósofo, no son los que
más sorprendieron a Galileo, ni tampoco contienen una ley específica de la
naturaleza. La ley de la naturaleza está contenida en la afirmación de que el
tiempo que tarda un objeto pesado en caer desde una altura determinada es
independiente del tamaño, material y forma del cuerpo que cae. En el marco de
la segunda “ley” de Newton, esto equivale a la afirmación de que la fuerza
gravitatoria que actúa sobre un cuerpo que cae es proporcional a su masa pero
independiente del tamaño, composición y forma del cuerpo que cae.
El argumento
anterior intenta recordarnos, en primer lugar, que no es en absoluto natural
que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que seamos capaces de
descubrirlas.El que esto escribe tuvo la ocasión, hace cierto tiempo, de llamar
la atención sobre la serie de capas de “leyes de la naturaleza”, conteniendo
cada una de las cuales leyes más generales y más incluyentes que la previa, y
su descubrimiento constituye una penetración más profunda en la estructura del
universo que las capas previamente reconocidas. Sin embargo, el punto que
resulta más significativo en el presente contexto es que todas estas leyes de
la naturaleza contienen, incluso en sus consecuencias más remotas, solamente
una parte pequeña de nuestro conocimiento del mundo inanimado. Todas las leyes
de la naturaleza son afirmaciones condicionales que permiten una predicción de
algunos sucesos futuros sobre la base del conocimiento del presente, con la
excepción de que algunos aspectos del estado presente del mundo, en la práctica
la inmensa mayoría de los determinantes del estado presente del mundo, son
irrelevantes desde el punto de vista de la predicción. La irrelevancia es
significativa en el sentido del segundo punto tratado en relación con el
teorema de Galileo. En lo que se refiere al estado presente del mundo, tal como
la existencia de la Tierra en la que vivimos y en la cual se llevaron a cabo
los experimentos de Galileo, la existencia del Sol y de la totalidad de nuestro
entorno, las leyes de la naturaleza son completamente silenciosas. Es en
consonancia con esto, en primer lugar, que se pueden utilizar las leyes de la
naturaleza para predecir acontecimientos futuros solamente bajo circunstancias
excepcionales, cuando se conocen todos los factores relevantes del estado
presente del mundo. Está en consonancia con esto también la construcción de
máquinas, cuyo funcionamiento se puede prever, lo cual constituye el logro más
espectacular del físico. En tales máquinas el físico crea una situación en la
cual se conocen todas las coordenadas relevantes, de tal modo que puede
predecirse el comportamiento de la máquina. Los radares y los reactores
nucleares son ejemplos de tales máquinas. La finalidad principal de la
argumentación anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son siempre
afirmaciones condicionales y que se refieren solamente a una parte muy pequeña
de nuestro conocimiento del mundo. Así, la mecánica clásica, que es el
prototipo mejor conocido de una teoría física, proporciona las derivadas
segundas de las coordenadas de la posición de todos los cuerpos, en base al
conocimiento de las posiciones, etc. de tales cuerpos. No proporciona
información sobre la existencia, las posiciones presentes o las velocidades de
dichos cuerpos. Debería mencionarse, en aras a la precisión, que descubrimos
hace unos treinta años que incluso las afirmaciones condicionales no pueden ser
del todo precisas: que las afirmaciones condicionales son leyes de probabilidad
que nos permiten solamente apuestas inteligentes acerca de las propiedades
futuras del mundo inanimado, basadas en el conocimiento de su estado presente.
No nos permiten hacer afirmaciones categóricas, ni tampoco afirmaciones
categóricas condicionales acerca del estado presente del mundo. La naturaleza
probabilística de las “leyes de la naturaleza” se manifiesta por sí misma
también en el caso de las máquinas, y se puede verificar, al menos en el caso
de los reactores nucleares, cuando funcionan a muy baja potencia. Sin embargo,
la limitación adicional del alcance de las leyes de la naturaleza que se deriva
de su carácter probabilístico no representa ningún papel en el resto de la
discusión. En lo que se refiere al estado presente del mundo, tal como es la existencia de la Tierra en la que vivimos y
en la cual se llevaron a cabo los experimentos de Galileo, la existencia del
Sol y de la totalidad de nuestro entorno, las leyes de la naturaleza son
completamente silenciosas. Es en consonancia con esto, en primer lugar, que se
pueden utilizar las leyes de la naturaleza para predecir acontecimientos
futuros solamente bajo circunstancias excepcionales, cuando se conocen todos
los factores relevantes del estado presente del mundo.
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