Calculo diferencial
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas
intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática
ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se
colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas
que hacen posible su nacimiento conocimientos que se acumula, desarrolla y
evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular
y el nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a
convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia.
El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad tratando de dominar por más de veinte siglos.
Una larga lista de personas trabajaron con los métodos
"infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para
tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el
Cálculo Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero
representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron
ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores
inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria
como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como
Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin.
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar
cuatro problemas científicos y matemáticos: Encontrar la tangente a una curva
en un punto.,Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad., Encontrar la
longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en
cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo
en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se
especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la
distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido. Los
alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres
lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme,
Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado
por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón,
Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e
histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas
decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por
Descartes y Fermat. Su construcción fue parte importante de la revolución
científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron
la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la
realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar,
estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en
Europa parte del siglo XVIII los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en
sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e
ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de
las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de
variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Pero el
gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales
sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler
escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en
modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito
de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como
físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un
desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. Un problema
importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y
el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático
alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821,
un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del
cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función
continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el
concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la
definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy
estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind
quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos
alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo
tiempo. Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir
de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances
en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia,
dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números
formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos
de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance
fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones
trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en
las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una
aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado
abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración
de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente
del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de
construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar
conceptos considerados hasta entonces intuitivos. Gauss desarrolló la geometría
no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su
publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios
al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Los fundamentos de la
matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX. En la
Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi
todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él
creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién
comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos
matemáticos del siglo. El avance originado por la invención del ordenador o
computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la
matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó
nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se
convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de
números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el
ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no
se habían podido resolver anteriormente. El conocimiento matemático del mundo
moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente
distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque
la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen
sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la
matemática más abstractas encuentra aplicación.
El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de
una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos
elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las
concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en
especial las concepciones sobre las características que debe reunir el
conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico,
determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los
personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede
ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.
